Lösung zu Rätsel Nr. 2
Bei den Lösungen wurden oft eine der folgenden drei Dinge vergessen:
es kann gleiche Wasserstände geben, dann drehen mehrere Spieler einen Rettungsring um,
wenn nur noch zwei Spieler im Spiel sind, endet das Spiel und
wenn man am Ende keine Wasserstandskarte hat, zhält dies als "0" und man erhält den Sonderpunkt
Hier nun die Lösung:
Bei der Kartenverteilung ist leicht einzusehen, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge die Spieler ihre Karte spielen. Die Karete aus dem Blatt von 49 bis 60 wird immer die höchste Karte sein, die aus dem Blatt von 25 bis 36 immer die mittlere und die aus dem Blatt von 1 bis 12 immer die unterste. Um nun den Erfolg eines jeden Blattes zu ermitteln, muss man die Folgen daraus ableiten.
Am einfachsten zu bewerten ist das Blatt mit den niedrigen Karten. Es erhält keine der Wasserstandskarten. Daher geht er auch trotz der nicht vorhandenen Rettungsringe nicht unter. Am Ende des Durchganges hat er den niedrigsten Wasserstand (nämlich Null, da er keine Karte hat) und erhält dafür einen Punkt.
Bei den anderen beiden Blättern ist es so, dass das Blatt mit den ohhen Karten immer die niedrigere Karte erhält uind das Blatt mit den mitteleren Karten die hohe Wasserstandskarte. Wenn wir annehmen, dass die Wasserstandskarten nie gleich sind, würde das mittelere Blatt immer den höchsten Wasserstand habne, jede Runde einen Rettungsring verleiren und beide Blätter beendeten den Duchgang mit Null Punkten.
Dies ist aber eben nur die halbe Wahrheit, denn es können gleiche Wasserstandskarte auftauchen. In einem solchen Fall verlieren beiden Blätter einen Rettungsring. Das Blatt mit den mittleren Karten dreht einfach einen Rettungsring um. Das hohe Blatt aber hat keinen Rettungsring, d. h. der Spieler scheidet aus dem Durchgang aus. Gelichzeitig ist damit der Durchgang beendet, da nur noch zwei Spieler am Spiel beteiligt sind. Frage ist jetzt, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist.
Bei der ersten Karte ist die Wahrscheinlichkeit 1:23 (=0,0435) und in diesem Fall behält der Spieler 11 Rettungsringe über. Der Erwartungswert (Wahrscheinlichkeit * Ergebnis) beträgt dabei 0,4783. Im zweiten Durchgang gibt es zwei Karten, die keine Pärchen bilden können (die Partner der Karten aus dem ersten Durchgang). Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 0,9565 (es komt zu einem zweiten Durchgang) * 0,9091 (= 20/22; es kommt eine Karte die ein Pärchne bilden kann) * 0,0476 (der Partner wird gezogen) = 0,0414. Bei 10 Rettungsringen ergibt sich ein Erwartungswert von 0,4141. Entsprechend kann man die weiteren Durchgänge berechnen, wobei zu berücksichtigen ist, dass in den davorliegenden Durchgängen bereits zwei gleiche Wasserstandskarten mit dem sleben Wert in unterschiedlichen Durhcgängen auftauchten. Wir machen es uns hier einfach: Wenn in den ersten beiden Durchgängen vier verschiedene Wasserstandkarten auftauchten beträgt die Wahrscheinlichkeit 0,9169 (es kommt zum dritten Durchgang) * 16/20 (Karten die Paare bilden können) * 1/19 (Partner kommt) = 0,0386 und ergibt 0,3475 als Erwartungswert. Addieren wir die jetzt schon ermittelten Erwartungswerte zusammen, kommen wir über 1 und damit ist das mittlere Blatt besser als das Blatt mit den niedrigeren Karten.
Ja, wir sind Matiker (-: 8-)
a) Welches Blatt das beste, das zweitbeste und welches das schlechteste? Das beste Blatt ist das mit den mittleren Werten, gefolgt von den Blatt mit den niedrigen Werten. Das sschlechteste Blatt ist das mit den hohen Werten.
b) Warum ist das so? Weil das mittlere Blatt im Schnit tmehr als einen Rettungsring übrig behält, das niedrige genau einen Punkt erzielt und das hohe Blatt Null oder gar einen Minuspunkt einfährt.